Matheproblem Extremalaufgabe

[hokage]

Hi Leute,

Ich habe es grad etwas eilig und da ich etwas auf dem Schlauch stehe, wende ich mich kurz an euch.
Folgendes Problem:

Der Supermarkt um die Ecke verkauft Fruchtjoghurt für 1,80€ je Becher. In einer Woche werden 1000 Becher verkauft. Mr. Cash schätzt, dass jede Preissenkung um 0,10€ eine Absatzerhöhung um 100 Becher nach sich zieht (jede Preiserhöhung um 0,10€ einen Absatzrückgang um 100 Becher). Der niedrigst mögliche Preis beträgt 1,20€ und deckt gerade die Kosten.

1) Wie hoch muss der Joghurtpreis sein, damit Mr. Cash den höchsten Erlös hat?

2) Bei welchem Verkaufspreis pro Joghurtbecher wird der Gewinn maximal?


... so hier jetzt mein Ansatz:

1)

y=(1,8*0,1x)*(1000-100x)
...ausmultiplizieren...
y'=-20x-80

y'=0

-20x-80=0
=>x=-4

setze ich jetzt -4 für x ein, so erhalte ich den maximalen Erlös und auch den dementsprechend maximalen Preis von 1,4€.

Allerdings frage ich mich, wie ich jetzt die Gewinnfunktion aufstellen soll.
Normal würde ich von obiger Funktion einfach nur die Kosten abziehen, und die betragen ja 1,2€ mal 1600.
Da dies jedoch eine normale Zahl ist, würde sie ja bei der Ableitung entfallen und keine Auswirkungen auf die Rechnung haben. Es würde also wieder -4 für x und dementsprechend 1,4€ für den optimalen Joghurtbecherpreis rauskommen.

Ist das so richtig, oder bin ich auf dem Holzweg?
Danke für eure Hilfe

grüße hokage

 

[Kiwii2006]

Deine Antwort für 1) ist richtig.

Bei 2) ist die Antwort von 1) irrelevant. Der maximale Gewinn hat mit den maximalen Einnahmen nichts mehr zu tun, da weniger verkaufte Joghurte auch weniger Produktionskosten bedeuten. Du musst also eine neue Funktion aufstellen.

Ansatz:
G(x) = [(1,8 + 0,1x)*(1000-100x)] - [(1000-100x)*1,2]
Auf deutsch: "Gewinn gleich Einnahmen minus Produktionskosten"


Davon suchst du das Maximum. (Lösung unten weiß gefärbt)
-> Ich komme hier auf x = 2, also einer Preiserhöhung auf 2,00€ bei einem Absatz von 800 Joghurten pro Woche.
-> Der maximale Gewinn ist 1640,00€.

 

[hokage]

Ok...

so ähnlich habe ich eben auch angesetzt.
Jedoch hätte ich die Kostenfunktion anders aufgestellt.
Vielleicht kannst du mir ja erklären, warum es so richtig ist und wo mein Fehler/Denkfehler ist.

Ich habe:

k(x)= (1,2+0,1x)*(1000-100x)

Du hast oben die +0,1x weggelassen, ich frage mich jedoch warum... Denn meiner Meinung nach kann ich die -100x ja nur mit einbeziehen, wenn die in Abhängigkeit von den +0,1x stehen, siehe Aufgabenstellung.

Als ich das jedoch gemacht habe, kürzte sich das x^2 weg und in meiner ersten Ableitung war kein x mehr. Will heißen, keine Extremwerte...

Wäre super, wenn du mir das kurz noch erklären könntest, da ich nicht verstehe, wo da gerade mein Denkfehler ist und warum man die +0,1x weglassen kann.

grüße hokage

 

[Kiwii2006]

Die Produktionskosten für einen Joghurt sind fix bei 1,20€ und somit unabhängig vom Verkaufspreis eines einzelnen Joghurts. Darum spielen die 0,1x, welche ja der Preiserhöhung/senkung entsprechen, keine Rolle.
Die gesamten Produktionskosten sind somit unabhängig vom Verkaufspreis der Joghurte und setzen sich nur aus der produzierten bzw. verkauften Gesamtzahl zusammen, welche (1000-100x) beträgt. Die Preissenkung/erhöhung hat nur indirekt einen Einfuss auf den Gewinn, da sie die verkaufte Menge festlegt.

Ich hoffe, dass das einigermaßen verständlich ist.

 

[hokage]

Ok das hab ich jetzt verstanden
Macht Sinn haha

Hättest du eventuell noch Energie für eine zweite Aufgabe ?

Ich bin einfach mal so frei und stelle sie hier...

Ein Kino hat bei einem Eintrittsgeld von 5€ täglich durchschnittlich 200 Besucher/innen. Bei jeder Erhöhung des Eintrittsgeldes um 0,5€ nimmt die Besucheranzahl um 10 ab. Die internen Kosten durch ... sind mit 800€ unabhängig von der Besucheranzahl. Putzkosten schlagen pro Person mit 0,4€ zu Buche. Dafür macht der Kiosk rund 1€ pro Person Gewinn.

1) Bei welchem Preis ist der Erlös maximal?
2) Bei welchem Preis ist der Gewinn maximal?
3) In welchem Bereich für das Eintrittsgeld wird überhaupt Gewinn gemacht?

1)

E(x)=(5+0,5x)*(200-10x)
...ausmultiplizieren...

E'(x)=-10x+50

-10x+50=0
<=> x=5

A: Bei 7,5€ (5*0.5*5) wird der Erlös maximal.
stimmt das so?

2)

G(x) = (5+0,5x)*(200-10x) + (200-10x) - [(200-10x)*0,4+800]

rot: Erlösfunktion
grün: Gewinn durch Kiosk
blau: Kostenfunktion

Ist das so richtig? Bin mir unsicher ob der Kioskgewinn nicht auch noch mit in die Erlösfunktion muss... Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob meine Kostenfunktion stimmt...
Ich verzichte jetzt auf weiteres ausrechnen, da das Wichtigste erst einmal Erlös- und Gewinnfunktion sind...

3)

keine Ahnung...

Ich frage mich im übrigen auch, ob man Erlös- und Gewinnfunktion nicht so aufstellen könnte, dass x direkt den Preis angibt, da so die 3) sicherlich einfacher wäre...

Danke dir für deine Hilfe

grüße

 

[Kiwii2006]

Falls du die Aufgabe noch nicht selbst gelöst oder mit deinen Mitschülern besprochen hast, kann ich sie mir nach der Uni gern ansehn. (Oder jemand anders tut es )

 

[hokage]

Heute hatten wir kein Mathe

Ich wäre dir, oder auch euch anderen dankbar

 

[Phalanx1984]

2 stimmt nach meinem dafürhalten, jetzt halt ausmultiplizieren, ableiten, Nullsetzen, auflösen…

3 ist einfach der Bereich für den gilt G(x) > 0

klar kannst du die Funktion auch für den Preis direkt angeben, ist ja nur um den Faktor 5+0,5x verschoben

 

[Kiwii2006]

1) und 2) sind korrekt so.
Lösung in weiß: -> Bei 2) komme ich auf x = 4,4 und somit Preis = 7,20 €.

Für 3) plottest du dein G(x) einfach und suchst die Nullstellen. Die stellen deine äußeren Grenzen für den Gewinn da.
Die zwei Eintrittsgelder (oberes und unteres Limit) solltest du selbst berechnen können.


// Man sollte nebenher halt nicht seine eigenen Aufgaben machen Phalanx war wohl schneller.

 

[hokage]

Vielen Dank euch beiden